Probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor II

Ce este important sa retineti referitor la acest tip de probleme este ca trebuie in primul rand sa cititm cu atentie problemele, apoi sa notam necunoscutele si sa le asociem in relatii.

Retineti faptul ca atatea necunoscute cate aveti in problema tot atatea relatii trebuie sa asociati, pentru a putea afla acele necunoscute.

1)       Suma a cinci numere consecutive este egala cu 75. Aflati numerele.

Primul nr il notam cu „x „

Al doilea nr il notam cu „ x + 1”

Al treilea cu „ x + 2”

Al patrulea cu „ x + 3”

Al cincilea cu „ x+ 4”

X + (x + 1) + ( x + 2) + ( x + 3) + ( x + 4) = 75

5x + 10 = 75; 5x = 85; x = 85 : 5; x = 17;

X + 1 = 18;

X + 2 = 19;

X + 3 = 20;

X + 4 = 21.

2)      Suma a patru numere pare consecutive este egala cu 52. Aflati numerele.

Primul nr il notam cu „x „

Al doilea nr il notam cu „ x + 2”

Al treilea cu „ x + 4”

Al patrulea cu „ x + 6”

X + ( x + 2) + ( x + 4) + ( x + 6) = 52

4x + 12 = 52; 4x = 40; x = 40 : 4; x = 10;

X + 2 = 12;

X + 4 = 14;

3)      Suma a trei numere este egala cu 740. Aflati numerele stiind ca suma primelor doua este egala cu 420, iar suma ultimelor doua este egala cu 590.

Primul nr il notam cu „ a  „

Al doilea nr il notam cu „ b ”

Al treilea cu „  c ”

a + b + c = 740 ( relatia 1)

a + b = 420 ( relatia 2)

b + c = 590 ( relatia 3)

_ _ _ _  _ _ _ _ _ _ _ _ 

Il scoatem din a doua relatie pe „a” in funcie de „b”, astfel:

a + b = 420; a = 420 – b;

Din a treia reletie il scoatem pe „c” in functie de „b”, astfel:

b + c = 590; c = 590 – b;

Inlocuim cei doi termeni si anume „a” si „c” in prima relatie, astfel:

( 420 –b) + b + ( 590 – b) = 740

1010 – b = 740

b = 1010 – 740; b = 270;

a = 420 – b = 420 – 270; a = 150;

c = 590 – b = 590 – 270; c = 320;

4)      Daca la triplul unui numar natural adunam 5, iar rezultatul il inmultim cu 2 obtinem 70. Determina numarul initial.

Notam nr cu „x” si rezultatul primei operatii cu „ b”

3 * x + 5 = b

2 * b = 70

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

2b = 70: b = 70 : 2; b = 35;

3x + 5 = b; 3x + 5 = 35; 3x = 35 – 5 = 30; x = 30 : 3; x = 10;

5)      Din 300 l de lapte se obtin 100 l de smantana. Ce cantitate de smantana se obtine din 450 l lapte?

Aplicam regula de trei simpla:

300 l lapte .............................. 100 l smantana

450 l lapte ................................ „x”  l  smantana

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

300 * x = 450 * 100; 300x = 45000; x = 45000 : 300; x = 150;

6)      Ma gandesc la un numar pe care-l maresc cu 7. Rezultatul il triplez si din noul rezultat scad 12. Diferenta o miscorez de 16 ori si obtin rezultatul 3. Care este numarul la care m-am gandit?

Notam nr cu „x”, apoi fiecare rezultat pe rand cu „ b”, „c” si „d”, astfel:

X + 7 = b

3* b = c

c -12 = d

d : 16 = 3; d = 16 * 3; d = 48;

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _

c – 12 = 48; c = 60;

3b = 60; b = 60 : 3; b = 20;

X + 7 = 20; x = 20 – 7; x = 13;

7)      Mai multi elevi vor sa cumpere un obiect. Daca fiecare participa cu cate 20 lei, nu ajung 5 lei,. Daca fiecare participa cu 30 lei sunt in plus 25 lei.

a)      Cati copii sunt?

b)      Cat costa obiectul?

Notam elevii cu „x”, si pretul obiectului cu „b”, acestea fiind cele doua necunoscute ale problemei:

20 * x = b – 5

30 * x = b + 25

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

b = 20 x + 5

30 x = 20x + 5 + 25

30x – 20x = 30

10x= 30; x = 30 : 10; x = 3

20 * 3 = b – 5

60 = b -5; b = 65;

Probleme care se rezolva cu ajutorul ecuatiilor I

Pentru rezolvarea unei probleme avem de parcurs mai multe etape:

-          Ce se cunoaste in problema;

-          Ce se cere in problema;

-          Ce metoda aplicam pentru rezolvarea problemei;

-          Cum obtinem rezultatul si daca mai avem pasi intermediari

-          Prezentarea solutiei si verificarea ei

1)      Determinati un nr stiind ca daca il adunam cu 13 obtinem suma 47.

Notam nr cu „ x”

X + 13 = 47; x = 47 – 13; x = 34;

2)      Determinati un numar stiind ca daca il inmultim cu 15 produsul este 450;

Notam nr cu „ x „

X * 15 = 450; x = 450 : 15; x = 30;

3)      Determinati un nr natural, stiind ca inmultindu-l cu 5 si adunand la rezultat 7, obtinem 37;

Notam nr cu „ x „

X * 5 = 37 – 7= 30; x = 30 : 5; x = 6;

4)      Determinati numarul natural care inmultit cu 3 si rezultatul adunat cu 13 ne da acelasi rezulotat ca atunci cand la dublu numarului adunam 23

( X * 3 ) + 13 = 2 * x + 2

3x + 13 = 2x + 23; 3x – 2x= 23 – 13; x = 10;

5)      Suma a patru numere naturale consecutive este 46. Aflati numerele.

Nr 1 = x; Nr 2 = x + 1; Nr 3 = x + 2; Nr 4 = x + 3

X + ( x + 1 ) + ( x + 2 ) + ( x + 3 ) = 46

X + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 46

4x + 6 = 46

4x = 46 – 6

4x = 40

X = 40 : 4

X = 10 ( primul numar)

X + 1 = 11 ( al doilea numar)

X + 2 = 12 ( al treilea numar)

X + 3 = 13 ( al patrulea numar)

6)      Suma a trei numere impare consecutive este 51. Determinati-le.

Notam primul nr cu „x

Notam al doilea numar cu „ x +2”

Notam al treilea numar cu „ x + 4”

X + ( x + 2 ) + ( x + 4  )= 51

X + x + 2 + x + 4 = 51

3x + 6 = 51

3x = 51 – 6

3x = 45

X = 45 : 3

X = 15

X + 2 = 17 ( al doilea numar)

X + 4 = 19 ( al treilea numar)

7)      Daca 9 caiete costa 27 lei, aflati cat costa 15 caiete?

Un caiet il notam cu „ x”.

9 * x = 27; x = 27 : 9; x = 3 lei/ caiet

15 * 3 lei = 45 lei/ 15 caiete

1)      La o librarie s-au vandut 250 de culegeri. Ce suma s-a incasat in total daca 13 culegeri costa 325 lei?

 Notam o culegere cu „ x „

13 * x = 325; x = 25 lei/ o culegere

25 * 250 = 6250 lei

2)      7 muncitori sapa un sant de 56 m intr-o zi. Cati metri de sant vor sapa 15 muncitori intr-o zi, lucrand la fel?

I.                    Notam un muncitor cu „ x „

7 * x = 56; x = 56 : 7; x = 8

15 * 8 = 120

sau 

II.                  Regula de trei simpla

7 muncitori ....................................... 56 metrii intr-o zi

15 muncitori ....................................... x metrii intr-o zi

______________________________________________

7 * x = 56 * 15; 7x = 840; x = 120;

3)      Suma a trei numere este de 324. Daca din fiecare se scade acelasi numar, atunci obtinem 18, 71 si 145. Care sunt numerele?

Notam primul numar cu „ a „

Notam al doilea numar cu „ b”

Notam al treilea numar cu „ c „

Notam cu „x” numarul comun ce-l scadem

a+ b + c = 324

a – x = 18; a = 18 + x

b – x = 71; b = 71 + x

c – x = 145; c = 145 + x

(18 + x) + (71 + x) + ( 145 + x)=324

3x + 18 + 71 + 145 = 324

3x + 234 = 324

3x = 324 – 234 ; 3x = 90; x = 90 : 3; x = 30

a – x = 18; a = 18 + x; a = 18 + 30; a = 48;

b – x = 71; b = 71 + x; b = 71 + 30; b = 101;

c – x = 145; c = 145 + x; c = 145 + 30; c = 175;

Rezolvarea de ecuatii, inecuatii si rezolvarea problemelor cu ajutorul ecuatiilor

Exercitii:

1)      Verificati daca 3 este solutie pentru ecuatiile:

a)      5 + x = 8; x = 8 – 5; x = 3;

b)      x – 1 = 2; x = 2 + 1; x = 3;

c)      7 – x = 3; 7 – x – 3 =0; 4 – x = 0; x = 4;

d)      3 * x = 9; x = 9 : 3 ; x = 3;

e)      4 * x = 10; x = 10 : 4; x = 2.5;

f)       30 : x = 10; x = 30 : 10; x = 3;

g)      x : 3 = 2; x = 2 * 3; x = 6;

h)      5 + 4 (x – 1 ) = 5x – 2;

5 + 4x – 4 = 5x – 2;

5 + 4x – 4 – 5x + 2 = 0

3 – x = 0

X = 3;

i)        2 * [4 *( 7 – x ) – 5 * x ] + 6 = 8;

2 * ( 28 – 4x – 5x) + 6 = 8

56 – 8x – 10x + 6 – 8 = 0

54 – 18x = 0

54 = 18x

X = 3;

2)      Rezolvati in N ecuatiile:

a)      X + 4957 = 8734; x = 8734 – 4957; x = 3777;

b)      5043 + 2588 = x + 6230; 7631 = x + 6230; x = 1401;

c)      X – 1583 = 124; x= 124 + 1583; x = 1707;

d)      347 – x = 289; - x = - 58; x = 58;

e)      ( x – 2 ) * 3 = 12;

3x – 6 = 12 ; 3x = 12 + 6; 3x = 18; x = 18 : 3; x = 6;

f)       ( x – 2 ) * 5 = 0;                                            

5x – 10 = 0; 5x = 10; x = 10 : 5; x = 2;

g)      ( x – 1 )( x – 3 ) = 0;  ; x  { 1; 3}

h)      ( x – 1 ) * x = 0; ; x ( x – 1 ) = 0; ; x

i)        ( x – 3 ) : 3 = 7; ( x – 3 ) = 21; x = 24;

j)        ( 2x – 1 ) * 4 = 60; 8x – 4 = 60; 8x = 64; x = 64 : 8; x = 8;

k)      1000 : ( x – 5 ) = 200; 1000x : 500 = 200; 1000x = 1000; x = 1000 : 1000; x = 1;

Exercitii cu ridicari la putere

Adunarea si Scaderea numerelor naturale

Adunarea numerelor naturale este operatie prin care se obtine suma a doua numere.

Adunarea are urmatoarele proprietati:

-          Este comutativa: a+b=b+a, oricare ar fi a, b numere naturale;

-          Este asociativa: (a+b)+c=a+(b+c), oricare ar fi a, b si c numere naturale;

-          Numarul 0 este numar neutru: a+0=0+a=a, oricare ar fi a numar natural

Scaderea este operatia prin care se obtine diferenta a doua numere.

Oricare ar fi doua numere naturalea si b, a  b, si c astfel incat a=b+c, c se numeste diferenta si se noteaza c=a-b .

EXERCITII

 

Am incercat sa va explic cum sa aranjati numerele unul sub altul pentru a face o operatie de scadere sau de adunare ca sa nu gresiti. Fiti foarte atenti la  numere cum v-am aratat mai sus : observam ca primul numar (3007246) incepe cu ordinul milioanelor, iar cel de-al doilea  numar  (708476) incepe cu ordinul sutelor de mii . Este normal sa ne uitam la primul numar si sa vedem care este cifra ce reprezinta ordinul sutelor de mii si anume „0” (3007246), astfel sa putem aseza sub acesta corespodentul ordinului sutelor de mii de la al doilea numar si anume „7” (708476).

Dupa cum putem observa in acest exemplu primul numar este mai mare de ordinul zecilor de milioane, iar cel de-al doilea numar , mai mic, este de ordinul sutelor. Astfel cautam ordinul dutelor din primul numar ca sa putem aseza dedesupt cel de-al doilea numar.

 

Explicatia: 358 este mai mic decat 368 si ar fi trebuit sa trecem in loc de semnul „ =” semnul „ <".

Explicatia: 113 este mai mic decat 152, astfel ar fi trebuit sa folosim semnul „ < „

 

Explicatia: 218 este mai mare decat 157, astfel ar fi trebuit sa folosim semnul „ > „

1)      Afla termenul necunoscut:

a)      a + 17123 = 25432 ( in mod clar cand adunam doua numere rezultatul din partea dreapta a egalului va fi mai mare decat fiecare din cele doua numere. Astfel ca sa aflam un termen necunoscut in aceasta situatie vom scadea din rezultat cel de-al doilea termen pe care-l cunoastem). O alta explicatie a fi lasam in partea stanga termenul necunoscut si trecem in partea dreapta termenul cunoscut cu semn invers.

a = 25432 – 17123

a = 8309

 

a)      x + ( 87 – 19 ) = 118 ( mai intai claculam ce este in paranteza apoi aplicam acceasi metoda ca si la exercitiul de mai sus)

x + 68 = 118

x = 118 – 68

x = 50

b)      ( 45 – 16 + 6 ) – x = 30 ( vom calcula mai inainte ce este in paranteza)

35 – x = 30  ( e normal ca numarul din care urmeaza sa scadem un alt numar sa fie mai mare, in cazul nostru 35 > x. De asemenea rezultatul scaderii a doua numere este mai mic decat primul numar din care se va scadea cel de-al doilea, adica in cazul nostru 30 < 35).

X = 35 – 30

X = 5

c)      n – 438 = 287 ( cum explicam si mai sus numarul din care scadem un al doilea numar trebuie sa fie cel mai mare, mai mare decat al doilea termen cat si mai mare decat rezultatul. Astfel e clar ca trebuie sa adunam rezultatul la cel dea-l doilea numar pentru al afla pe primul).

n = 287 + 438

n = 725

d)      256 – ( 45 + 104 – x ) = 115 ( mai intai calculam ce se poate din paranteze)

256 – ( 149 – x ) = 115 ( avand in vedere ca „x” se afla in paranteza, mai mult de atat nu putem face pentru moment. Vom considera in momentul acesta paranteza ca fiind un numar si-l notam cu „y”. Ne intoarcem in exercitiu si inlocuim paranteza cu „y”)

256 – y = 115

Y = 256 – 115

Y = 141 ( am aflat cat este „y”. Dar sa ne aducem aminte ca y este defapt paranteza. Astfel rezultatul il egalam cu parannteza pentru a afla „x”.)

141 = 149 –x , adica 149 – x = 141

X = 149 – 141

X = 8

5)  Calculati folosind cea mai rapida metoda, urmatoarele:

In trei cutii sunt 60 kg de biscuiti. In prima cutie sunt cu 3 kg mai mult decat in a doua cutie, iar in a treia cutie sunt cu 15 kg mai putin decat in a doua cutie. Cate kg de biscuiti sunt in fiecare cutie?

Rezolvare :

Notam fiecare cutie cu o litera, astfel:

Cutia nr. 1 = a

Cutia nr. 2 = b

Cutia nr. 3 = c

Notam datele din problema in functie de ceea ce stim, astfel:

a + b + c = 60

a = b + 3 (  „ in prima cutie sunt cu 3 kg mai mult decat in a doua cutie”)

c = b – 15 ( „ in a treia cutie sunt cu 15 kg mai putin decat in a doua cutie”)

a + b + c = 60

b + 3 + b + b – 15 =60 ( inlocuim cu ce am stabilit mai sus)

3b – 12 = 60

3b = 60 + 12

3b = 72

b = 72 : 3

b = 24

a = b + 3 = 24 + 3

a = 27

c = b – 15 = 24 – 15

c = 9

Verificare:

a + b + c =60

27 + 24 + 9 = 60

60 = 60 ( A )